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股票期权的定价分析 ——基于我国上证50ETF的实证分析
日期:2016-04-11

 

第一章    绪论

期权作为现代金融一种重要的金融衍生产品,其定价一直是金融工程的重要研究领域。而期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题。目前,主流经济学界流行的的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。

1.1      问题研究的背景

 1.1.1期权及期权市场介绍

1)期权的定义

期权又称为选择权,是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。指在未来一定时期可以买卖的权利,是买方向卖方支付一定数量的金额(指权利金)后拥有的在未来一段时间内(指美式期权)或未来某一特定日期(指欧式期权)以事先规定好的价格(指履约价格)向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权力,但不负有必须买进或卖出的义务。

从其本质上讲,期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价,使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易,行使其权利,而义务方必须履行。在期权的交易时,购买期权的一方称作买方,而出售期权的一方则叫做卖方;买方即是权利的受让人,而卖方则是必须履行买方行使权利的义务人

 2)期权的分类

期权交易的类型很多,大致有如下几种:

   按期权的权利划分,有看涨期权看跌期权两种类型。

看涨期权CallOptions)是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后,即拥有在期权合约的有效期内,按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利,但不负有必须买进的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内,应期权买方的要求,以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。

看跌期权:按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利,但不负有必须卖出的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内,应期权买方的要求,以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。

②按期权的交割时间划分,有美式期权欧式期权两种类型。

美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利。

欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利,期权的买方在合约到期日之前不能行使权利,过了期限,合约则自动作废。

③按期权合约上的标的划分,有股票期权股指期权利率期权商品期权以及外汇期权等种类。

此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式,如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。

3)期权交易的新模式

标准欧式或美式看涨期权看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权(exotic options)。大多数新型期权在场外交易。它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。有时候它们被附加在所发行的债券中以增加对市场的吸引力。

二元期权(binary options),又称数字期权、固定收益期权,是操作最简单的金融交易品种之一。二元期权在到期时只有两种可能结果,基于一种标的资产在规定时间内(例如未来的一小时、一天、一周等)收盘价格是低于还是高于执行价格的结果,决定是否获得收益。如果标的资产的走势满足预先确定的启动条件,二元期权交易者将获得一个固定金额的收益,反之则损失固定金额的部分投资,即固定收益和风险。

二元期权的一个突出特征和投资优势在于,它只需在到期时期权的到期价格相比执行价格是有价格上的增额(即使只波动了一分钱)就会获得很高的盈利。因此,即便是在市场清淡时期,二元期权也会给投资者带来显著的投资收益。相反,如果购买股票或外汇等金融品种,那么要想获得正的投资收益就要求有较大的市场波动。随着在线交易平台和工具的发展,在线二元期权交易开始广受欢迎,二元期权以其交易时间短,交易品种多,操作简单,方便灵活,风险收益稳定等特点,迅速在欧美、中东以及日本等地区流行起来。

打包期权packages)是由标准欧式看涨期权、标准欧式看跌期权远期合约现金标的资产本身构成的组合。

非标准美式期权:在标准美式期权的有效期内任何时间均可行使期权且执行价格总是相同的。而实际中,交易的美式期权不一定总是具有这些标准特征。有一种非标准美式期权称为Bermudan 期权。在这种期权中提前行使只限于期权有效期内特定日期。例如美式互期期权就只能在指定日才能行使。

远期开始期权是支付期权费但在未来某时刻开始的期权,它们有时用来对雇员实施奖励。通常选择合适的期权条款以便该期权在启动时刻处于平价状态。

复合期权是期权的期权。复合期权主要有四种类型:看涨期权的看涨期权,看涨期权的看跌期权看跌期权的看涨期权,看跌期权的看跌期权。复合期权有两个执行价格和两个到期日。

4)期权交易的主要特征

1)独特的损益结构

与股票、期货等投资工具相比,期权的与众不同之处在于其非线性的损益结构。正是期权的非线性的损益结构,才使期权在风险管理、组合投资方面具有了明显的优势。通过不同期权、期权与其他投资工具的组合,投资者可以构造出不同风险收益状况的投资组合

2)风险

期权交易中,买卖双方的权利义务不同,使买卖双方面临着不同的风险状况。对于期权交易者来说,买方与卖方部位均面临着权利金不利变化的风险。这点与期货相同,即在权利金的范围内,如果买的低而卖的高,就能获利。相反则亏损。与期货不同的是,期权多头的风险底线已经确定和支付,其风险控制在权利金范围内。期权空头持仓的风险则存在与期货部位相同的不确定性。由于期权卖方收到的权利金能够为其提供相应的担保,从而在价格发生不利变动时,能够抵消期权卖方的部份损失。虽然期权买方的风险有限,但其亏损的比例却有可能是100%,有限的亏损加起来就变成了较大的亏损。期权卖方可以收到权利金,一旦价格发生较大的不利变化或者波动率大幅升高,尽管期货的价格不可能跌至零,也不可能无限上涨,但从资金管理的角度来讲,对于许多交易者来说,此时的损失已相当于“无限”了。因此,在进行期权投资之前,投资者一定要全面客观地认识期权交易的风险。

6)期权市场的基本概念

期权交易起始于十八世纪后期的美国和欧洲市场。由于制度不健全等因素影响,期权交易的发展一直受到抑制。直到1973426日,美国建立了芝加哥期权交易所(CBOE),首次交易股票期权,标志着期权交易从此可以合法进行,开始了期权合约标准化、期权交易规范化的进程,此后期权交易得了迅猛的发展。  

1.2 境外期权市场的起源和发展

   1.2.1国外期权市场的起源

期权交易的第一项记录是在《圣经·创世纪》中的一个合同制的协议,里面记录了大约在公元前1700年,雅克布为同拉班的小女儿瑞切尔结婚而签订的一个类似期权的契约,即雅克布在同意为拉班工作七年的条件下,得到同瑞切尔结婚的许可。从期权的定义来看,雅克布以七年劳工为“权利金”,获得了同瑞切尔结婚的“权利而非义务”。除此之外,在亚里士多德的《政治学》一书中,也记载了古希腊哲学家数学家泰利斯利用天文知识,预测来年春季的橄榄收成,然后再以极低的价格取得西奥斯和米拉特斯地区橄榄榨汁机的使用权的情形。这种“使用权”即已隐含了期权的概念,可以看作是期权的萌芽阶段。

1.2.2国外期权市场的发展

17世纪荷兰的郁金香炒作事件是现代期权市场形成的历程碑。众所周知,郁金香是荷兰的国花。在17世纪的荷兰,郁金香更是贵族社会身份的象征,这使得批发商普遍出售远期交割的郁金香以获取利润。为了减少风险,确保利润,许多批发商从郁金香的种植者那里购买期权,即在一个特定的时期内,按照一个预定的价格,从种植者那里购买郁金香。而当郁金香的需求扩大到世界范围时,又出现了一个郁金香球茎期权的二级市场。随着郁金香价格的盘旋上涨,荷兰上至王公贵族,下到平民百姓,都开始变买他们的全部财产用于炒作郁金香和郁金香球茎。1637年,郁金香的价格已经涨到了骇人听闻的水平。与上一年相比,郁金香总涨幅高达5900%16372月,一株名为“永远的奥古斯都”的郁金香售价更高达6700荷兰盾,这笔钱足以买下阿姆斯特丹运河边的一幢豪宅,而当时荷兰人的平均年收入只有150荷兰盾。随后荷兰经济开始衰退,郁金香市场也在163724日突然崩溃。一夜之间,郁金香球茎的价格一泻千里。许多出售看跌期权的投机者没有能力为他们要买的球茎付款,虽然荷兰政府发出紧急声明,认为郁金香球茎价格无理由下跌,劝告市民停止抛售,但这些努力都毫无用处。一个星期后,郁金香的价格已平均下跌了90%,大量合约的破产又进一步加剧了经济的衰退。绝望之中,人们纷纷涌向法院,希望能够借助法律的力量挽回损失。但在16374月,荷兰政府决定终止所有合同,禁止投机式的郁金香交易,从而彻底击破了这次历史上空前的经济泡沫。毫无疑问,这样的事情损害了期权在人们心目中的形象,直至100多年后,伦敦期权交易也依然被认为不合法。

1.2.3店头市场的出现

18 世纪, 在工业革命和运输贸易的刺激下, 欧洲出现了有组织的期权交易, 标的物以农产品为主。在英国,以证券为标的物的期权交易一度遭到巨大反对, 1733 年的巴纳德法宣布期权为非法。但一直到1860 年该法被撤消期间,期权交易也从未停止过, 只是交易量很小。18 世纪末美国出现了股票期权。由于当时还不存在期权的中心交易市场,期权都是在场外进行交易,市场依靠那些为买方和卖方寻求配对方的经济商才得以运行。最终,在这样的一个松散的市场里,期权经纪商与自营商协会(The Put and Call Brokers and Dealers Association)形成了。协会的目的是为了加强参与者之间的联系,并在共同利益的基础上拓展业务。进入20世纪以后,股票市场仍然不受监管,期权的声誉也因为投机者的滥用而更加不佳。在20年代,一些证券经纪商从上市公司那里得到股票期权(underlying stock),作为交换他们要将这些公司的股票推荐给客户,从而使该股票的市场需求迅速上升,上市公司和经纪商因此从中获益,而许多中小投资者却成为这种私下交易的牺牲品。1929年的股灾发生以后,美国国会为防止市场的再次崩溃而举行听证会并由此成立了美国证劵交易委员会(Security and Exchange Commission, SEC)。证劵交易委员会最初给国会的建议是取缔期权交易,原因是“由于无法区分好的期权同坏的期权之间的差别,为了方便起见,我们只能把它们全部予以禁止”。当时,期权经纪商与自营商协会邀请了经验丰富的期权经纪人荷尔伯特·菲勒尔到国会作证。在激烈的辩论中,SEC的成员们问菲勒尔:“如果只有12.5%的期权履约,那么,其他87.5%购买了期权的人不就扔掉了他们的钱吗?”菲勒尔回答说:“不是这样的,先生们,如果你为你的房子买了火灾保险而房子并没有着火,你会说你浪费了你的保险费吗?”通过激烈的辩论,菲勒尔成功的说服了委员会,使他们相信期权的存在的确有其经济价值。这使得在加强监管的前提下,美国的期权业得以继续存在和发展。

1.2.4现代期权市场的形成

1968 年起, 商品期货市场的交易量低迷,迫使CBOT讨论扩展其他业务的可能性, 在投入大量研发费用并历经5 年之后,全世界第一个期权交易所——芝加哥期权交易所(CBOE) 终于在1973 4 26 日成立,这标志着真正有组织的期权交易时代的开始。CBOE的第一任总裁约瑟夫·W·索利凡(Joseph W. Sullivan)认为,与传统的店头交易市场相比,期货交易的公开喊价方式更具效率性。其中期权合约的标准化为投资者进行期权交易提供了最大的方便,也极大地促进了二级市场的发展。同时期权清算公司的成立也为期权的交易和执行提供了更为便利和可靠的履约保障。同年,芝加哥大学的两位教授费舍尔·布莱克(Fisher Black)和迈伦·斯科尔斯(Myron Scholes)发表了“期权定价与公司负债”的论文,该论文推算出了任何已知期限的金融工具的理论价格,使期权定价难题迎刃而解。在最初的阶段,芝加哥期权交易所的规模非常小,只有16只标的股票的看涨期权。交易的第一天,成交合约911手。然而到了第一个月底,CBOE的日交易量已经超过了场外交易市场。197763日,CBOE开始了看跌期权的交易。然而4个月后,SEC宣布暂停所有交易所新的期权合约的上市,场内期权市场的迅猛发展势头嘎然而止。不过,这并没有减缓已上市期权交易量的增长(关于1977年的“期权之战”,我们将会在下面单独列出)3年后,SEC取消暂停令,CBOE随即增加了25种可进行期权交易的股票。目前,CBOE挂牌交易的有1896种股票期权,28种指数期权,96ETF期权和4种利率期权。与股票期权不同的是,商品期权在19世纪就已经开始在交易所交易。比如芝加哥期货交易所(CBOT)1870年推出的“Indemnity for Purchase or Sale”实际上是一种短期(只存在两个交易日)期权。但是由于早期的期权交易存在着大量的欺诈和市场操纵行为,美国国会为保护农民利益,于1921年宣布禁止交易所内的农产品期权交易。1936年美国又禁止期货期权交易,之后世界其他国家和地区期权,期货和各种衍生品都相继被禁止交易。直到1984年,美国国会才重新允许农产品期权在交易所进行交易。在随后的一段时期内,美国中美洲商品交易所,堪萨斯期货交易所和明尼阿波利斯谷物交易所推出了谷物期权交易,随后CBOT也推出了农产品期权合约。欧洲的商品期权则来的比较晚,伦敦国际金融期货交易所直到1988年才开始进行欧洲小麦期权交易。除农产品之外,能源和金属期权也是很重要的交易品种。纽约商品交易所(NYMEX)是全球能源期权最大的交易市场,伦敦金属交易所(LME)则是全球最大的有色金属期货期权交易中心。

小结:

纵观期权市场的发展历史,与期货市场不无相似的是,这仍然是一部监管者与市场操纵者的博弈史。期权历史上所发生的重大事件无一不见证了这一市场的动态发展过程,并促使这一市场的运行和监管机制不断完善并继续壮大。

1.3 我国期权市场的发展

 

期权作为金融衍生品之一,对于对冲现货价格风险和金融产品价格风险有着重大意义,国外期权市场发展相对成熟,国外期权品种较为丰富,制度较为完善,这里主要与国外期权市场作对比,而我国期权市场发展较晚,目前,还没有形成单独的期权交易日常。

   股票期权制度产生于20世纪50年代初的美国,其主要目的是用于对公司经理人和核心技术人员进行奖励。中国在借鉴国外股票激励机制的基础上,对适应中国的股票期权制进行了探索和实践,1997年引进风险投资的同时也引进了该项制度。中国实施股票期权制度的按列呈现出许多不同于国际规范和惯例的特点,颇具中国特色。股票期权制已被视为协调国有企业代理人个人行为与政府行为的最直接和最有效的方法。自200611日,中国中央颁布施行了《上市公司股权激励管理办法(试行)》。

  1.3.1 我国期权市场的主要特征

1)我国商品期权缺乏。目前美国、加拿大、英国、德国、澳大利亚、印度、巴西、俄罗斯、墨西哥等国家都在推动和发展商品期权市场,商品期权的品种主要有农产品、能源、金属等。商品期权与商品期货是商品价格风险对冲的两种重要工具,这两种工具又是相辅相成的,商品期权对于规避农产品价格风险方面具有期货市场无可比拟的优越性。虽然全球商品期权占全球期权交易总量的比重仅百分之十几,但是一个活跃、发达的金融衍生品市场需要商品期权市场的加入。我国商品期货市场近几年发展迅猛,仅2012年至2014年三大商品期货交易所就新增品种达20种之多,与蓬勃增加的商品期货品种相比,我国商品期权显得较为落后,但是商品期权仿真交易在2013年已经启动,商品期权发展指日可待,20152月上海黄金交易所上线的黄金实物询价期权是我国首个商品现货期权。

2)我国金融类期权有银行间市场人民币外汇期权和上证ETF50期权刚刚起步。国内人民币兑外汇期权仅在银行间外汇市场推出,在中国外汇交易中心的外汇交易系统挂牌与交易,这意味着只有银行等金融机构能直接参与期权交易,个人或企业要想参与人民币外汇期权必须通过银行办理,对于个人和企业参与人民币外汇期权的业务种类也有所限制,这默认了人民币外汇期权交易的的主要参与者和主导者是银行等金融机构。与2011年银行间市场人民币外汇期权推出时相比,对参与主体和交易业务的限制正逐渐放松,银行间汇市场成员由银行机构扩容到非银行金融机构,外汇局也取消对金融机构进入银行间外汇市场事前准入许可,并允许客户通过银行卖出期权。

ETF被称为交易所交易基金,2008年经济危机之后全球ETF交易量增长显著,ETF期权虽然出现较晚,但是具有股票期权和指数期权的特性,能满足不同类型投资者的需求,市场规模增长迅速。目前我国上海证券交易所推出ETF产品约51种,深证证券交易所推出ETF产品约34种,上证50指数交易所交易基金是挑选市场规模流动性好的最具代表性的50只股票组成样本股,综合反映上海证券市场最具市场影响力的一批优质大盘企业的整体状况。我国ETF产品的发展为ETF期权推出奠定基础,上证ETF50期权合约的标的既可以是上证ETF50跟踪的股票,又可以为上证ETF50基金份额。上证ETF推出是开启我国期权市场的重要一步。

 从以上我国期权市场状况中可以看出我国期权市场具有以下特点:

 一是我国期权品种不完善,商品期权仅有黄金实物期权,金融期权中只有人民币兑外汇期权和上证ETF50期权,由于国内利率、汇率暂未完全市场化,利率、外汇期权市场的发展缺乏发展的沃土,随着利率、汇率市场化程度加深,金融类期权市场将得到进一步发展。

   二是我国期权市场中场内市场和场外市场发展不协调,我国已推出的期权品种中除了上证ETF50期权在交易所场内交易外,人民币兑外汇期权交易嵌套在银行间外汇交易市场,黄金实物期权嵌套在上海黄金交易所,后两种均为场外交易,因此我国期权场内交易有待发展。

三是我国期货市场的发展和期权市场的匹配性不强,期货与期权的发展是紧密相联的,国外期权市场的发展历程表明很多期货品种产生于相应的期权品种之前,我国除了黄金之外的商品期货品种都没有相应的期权市场,由此说明期货品种和期权品种缺乏连贯性。

四是我国期权参与者门槛较高,国内人民币兑外汇期权的参与者必须有真实交易背景,并且交割方面只允许全额交割,原则上不进行差额交割。上证50ETF期权参与者需具备双融或金融期货交易经历,资产方面也有门槛限制。目前黄金期权的参与者也只能是机构投资者。

    小结:

 期权市场位于金融衍生品市场的顶端,具有很强的专业性,我国期权市场的发展对我国金融市场的发展有重要意义,首先对于投资者来说期权的发展增加了风险对冲工具种类,期权类风险转移工具因为具有收益和风险不对称性,能够满足一些投资者需求,这也是期权的根本作用所在;其次,期权市场的发展能够促进我国资本市场开放,我国资本市场发展相对较为落后,在开放的过程中不可避免遭受到国外资本进入带来的风险,国内完善的对冲工具降低国外资本对我国资本市场的冲击,避免国外资本对我国资产的“掠夺”;再次,期权市场的发展对我国的商品现货市场、金融现货市场以及其它金融衍生品市场的发展有辅助提振作用,商品现货的交易方式得以增加,我国对于商品现货的定价权得以提升,金融现货市场和其它金融衍生品市场的市场活跃度得以增强;我国期权市场的发展对于商品现货、金融现货的价格调整作用也不可忽视,期权市场能够参与到发现价值、挖掘价值,纠正偏离价值的过程中去;我国期权市场的发展还有利于私募基金、券商、金融公司等专业投资机构的产品创新和业务创新,提升我国投资机构的核心竞争力。

 1.2研究的目的和意义

1.2.1 本课题研究的主要目的

本文研究的主要目的有两个:一是如何构通过设计和构建新的期权交易模式,通过改进新的期权定价模式,使它更适合中国国情和中国资本市场的变动规律,规避市场风险。并根据相关衍生品的交易规则,制造出新的期权,以满足日益变化的市场投资需求;二是通过研究上证50ETF期权市场和上证50ETF的现货市场之间的关系,以此来降低市场波动对现货市场的影响,并以此来提升了股指期权的市场运行效率。。

1.2.2研究的意义

1)理论意义

期权定价一直是金融学、金融工程、数理金融研究的热点问题,这一问题的学术价值不仅是单一资产的价格计算,更重要的是通过研究现货市场和期权市场价格间的相关关系,探讨金融市场整体的有效性、研究金融数据的统计分布特征从而了解信息在投资者间是如何通过市场进行传递的。

   2)现实意义                                       

在股指期货之后,推出股指期权对我国的金融市场发展具有重要的意义:一方面,将有助于投资者在运用股指期货手段之外,可以运用股票期权手段控制与转移现货股票市场的风险,以减少因股价、股指波动带给投资者的风险,并解决投资者对金融衍生产品的热切需求,从而推进金融衍生产品市场的发展,以完善中国证券市场的稳定,提高金融市场的效率;另一方面,发展股票期权交易市场,可以进一步推动上市公司的分层次发展,有助于扩大工商企业等融资渠道,降低融资成本并运用杠杆原理理财而获得财富,实现套期保值,也有助于资本市场内的中介机构拓展与创新业务服务的机会。

基于50ETF期权推出对金融权重股的利好,这些相关的标的股票必会给投资者新的投资机会。期权是一种风险收益非线性的衍生工具,期权的出现会改变以往投资线性产品的投资模式,未来投资者的投资策略也将更加丰富。

    其次,期权作为高级金融衍生品工具,其定价模式既不同于股票也不同期货,对投资者的专业能力要求较高。在实际交易过程当中,资产的估值和定价是最基础也是最重要的一环,因为投资的前提是要能够识别投资标的当前价格与其实际的价值之间,存在的是高估还是低估的关系,只有充分认识到当前价格被错估而在将来有被修正的可能性的时候才能做出投资决策。

有关期权定价方法的研究在不断的探讨和发展中,从理论上讲期权发展是无止境的,从实际上讲期权是复杂多变和应用广泛的,因此研究探讨期权定价方法的共性和个性,对于深入研究复杂市场条件下的期权的定价有重要意义。对于完全市场条件下的期权定价研究已经日趋成熟,并形成了较为完整的定价系统。然而放松完全市场的部分假设条件,探讨在不完全市场下的期权定价问题:主要是进一步放松布莱克-斯科尔斯-默顿定价模型的假设条件,引入更多的现实因素,深入研究不同市场状况下的期权定价问题,显然更具挑战性和现实价值。关于这方面的研究,还没有形成一个较为完整的理论体系,这值得我们深入研究和探讨,找出一个较为合适我国股票期权定价的方法。

因此,用我国上证50ETF最新的数据,尝试用传统的Black-Scholes-Merton模型、新的Levy模型和Levy-GARCH模型对我国期权市场进行探索,不仅能丰富我国的期权定价研究,也能对期权市场交易提供借鉴作用。通过这些模型的定价效果,可以探讨对于投资者,是否能用更先进的定价技术来辅助他们在我国特殊的金融环境中进行投资,对于监管者,是否能用更新的模型来监控市场,判断市场走势是否正常。

1.3研究的主要内容和技术路线图

1.3.1 研究的主要内容

本文围绕着Levy随机数和蒙特卡洛模拟定价的基本模型和定价方法进行的,文章的结构也是根据这一主题进行的。

第二章简要的阐述了期权定价的基础理论,介绍了几种主流的期权定价方法及各自优缺点,之后对无套利假设及风险中性测度的基础理论进行描述,最后根据后续章节的内容作了文献综述。第二章为后面的模型建立和实证提供理论和文献方面的支持。

第三章是本文的基础章节,主要介绍Levy过程下期权定价的蒙特卡洛模拟技术。针对本文的需要,介绍了 Levy过程的基本概念,展示了几种主流Levy随机数的结构和生成算法。

第四章是本文的实证分析,展示了 Levy随机模型测度转换方法,并使用我国期权市场的相关数据进行了实证。第四章的实证结论为本文的整体实证结论提供了支撑。

第五章是全篇的结论和总结,一方面对本文的技术和实证结论进行整体分析,另一方面对综合性地给出完整的总结。

第六章是政策建议,主要根据全文得出的结论,给出可具有一定价值的政策建议,供政府和相关市场人士以及投资者参考。

1.3.2 研究的主要路线图

 

   1.4 本文的创新点

1.4.1.研究角度的创新。

截至目前,还没有文献运用我国上证50ETF的相关数据和信息对比期权定价方法进行的实证分析。本文致力于该问题的研究,以期获得答案,为期权的发展和完善提供可靠的方法依据。

    1.4.2模型相关条件的转变和创新。

    结合我国实际情况,通过对我国上证50ETF期权数据的实证分析,完备地描述了 Levy分布修正下,期权定价模型对我国期权市场的定价效果。

 

      第二章  期权定价的基础理论及相关文献综述

 

 

现代期权出现在20世纪70年代。而在目前,主流的期权定价模型分成两类:特定模型和均衡模型。特定模型一般只依靠经验观察和曲线配合,因此不需要反映任何被经济均衡强加的价格限制。特定模型本质上使期权价值与期权期望收益贴现值相等,而期权的期望收益明显依赖于将来股价的假定概率分布。另外,用期望收益率作为贴现成现值的贴现率必须也是指定的。而均衡模型则是按照一般均衡理论的公理化研究方法,根据市场参与者最大化的结果来推断期权价格。建立期权定价的均衡模型的努力,可追溯至法国数学家巴舍利耶(Bachelier,1900)发表的一本著作《投机理论》(The Theory of Speculation)。在他的这本著作中建立了一种期权定价模型,类似于后来推导出的一个物理学上的热方程。但是,这一期权定价模型在经济学和数学方面存在缺陷,尽管如此,它却指明了用来研究期权定价的均衡原理的各种途径。期权定价均衡模型的最重要突破来自费雪·布莱克和迈伦·斯科尔斯在1973年撰写的论文。

布莱克——斯科尔斯期权定价均衡模型的诞生,标志着现代期权理论的建立。这个模型回避了关于个人风险偏好和市场均衡价格结构的限定性假设,发展了期权定价的均衡模型。布莱克和斯科尔斯证明有可能组建一个包含股票和无风险资产头寸的投资组合,使其在短时期内的盈利与期权完全一致。另外,布莱克和斯科尔斯还精确的表明投资组合的组成如何随着股价的波动和时间的流逝而不断变化,以使其盈利与期权盈利继续保持一致。这个模型既美观又可观的刻画了风险和价值之间的关系。投资人知道股票和期权的目前价格、期权的履约价、到期日及现行利率。有了这些资料,这个模型就能够预测隐含在期权价格内的股价波动性。然后,则是靠投资人来判断市场对于股票波动性的预测是太低、太高还是适中。

   2.1 主流期权定价模型及各自局限性 

2.1.1 Black-Scholes-Merton期权定价模型

   1 Black-Scholes模型(简称B-S模型)

    随着人们逐步对期权价值的明确,接下来科学家们开始考虑具体的期权定价模型,以便得出较为精确的结论。20世纪70年代,芝加哥的两位教授布莱克(Black)和斯科尔斯(Scholes)先是解释了时间价值,然后又给出了几个假设,最终得出了一个很重要的模型,这就是后来被大家接受和认可的B-S期权定价模型。该模型是建立在对市场的七条假设之上的:

(1)  基础资产不支付红利,且其价格服从几何布朗运动。以下均假设基础资产为股票。

(2)  市场是完全的,即对所有未定权益都是可复制的。

(3)  市场是无套利的。

(4)  无风险利率是一个常数,且任何期限的借贷利率都相等。

(5)  可以无限制的卖空。

(6)  市场无摩擦。即无税收成本,无交易成本。

(7)  基础资产可以以任何数量在任何连续的时间交易。

B-S模型的推导可以利用微分方程或者利用鞅方法推导,后者更为简便。以股票的看涨期权为例,一份看涨期权的买入方实际上买入的是两种价值,一部分是当股票价格高于期权敲定(执行)价格时,它具有的无限的潜在获利,另一部分是当股票价格低于期权敲定价格时,它具有的有限的潜在损失。通过评估未来股票价格运动的可能性,我们可以得出这个期权应具有的价值,因此布莱克和斯科尔斯假设了这是一个正态分布过程,于是写出了一个方程式

 

 

  在这里:C是欧式期权价格;

          E是期权的敲定价格;

          ST是在到期T时刻的股票价格;

          St是在今天t时刻的股票现行价格;

          P是股票价格大于敲定价格的概率;

          e-rT是时间T的持续折现因子;

          EV是期望值。

 

我们主要想解决的问题是EV的确定,利用鞅方法,布莱克和斯科尔斯最终确定出关于EV的公式:

然后假定p=N(d2),代入上式并化简,最终得出了B-S模型的定价公式

 

其中

    

其中 S是股票价格;

     E是期权敲定价格;

     t1年内距到期时间的百分比;

     R是时间t内无风险利率;    

     是波动率,也就是方差的平方根;

     是回报率方差。

   B_s期权定价方式是现代金融学的最杰出的公式之一,但在选择交易市场中,许多假设条件是不成立的,该公式缺乏对市场套利行为的分析,其次,在t时间段的内无风险利率也并不是一成不变的,它取决于当期政府部门的贴现利率。 其次,该模型的假设条件为基础资产不支付红利,而在现实股票交易市场中,企业不支付红利的情况基础是不存在的。

 

  2.1.2二叉树模型

尽管B-S模型有很多优点,但是仍有许多局限性,而且它的一些假设并不被所有人认可,到了1979年,罗斯、考克斯、鲁宾斯坦和夏普等人提出了一种新的更为简单的期权定价模型,称为二叉树模型,或者二项式模型。尽管方法简单,但是却包含了衍生品定价的基本原理和思想,主要用于解决美式期权定价问题和离散过程的相关问题。

二叉树定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向,而且在整个考虑的时间内股价波动的概率和幅度不变。于是将考虑的时间分为若干阶段,根据历史波动率计算每个阶段结算的期权价格,这一特点是B-S模型无法做到的,而且非常适用于计算可以在任何有效期内行使期权的美式期权价格。

  1)单期二叉树模型

这里我们仅考虑单期二叉树模型,只有两个基础资产:无风险资产和基础风险资产。1时刻的状态为{u,d}ud分别表示1时刻基础风险资产的价格上升或者下降的比例,并且u>1,d<1u=1.1的含义就是如果1时刻基础风险资产价格上升,则价格变为1.1S0。假设无风险收益率r满足d<er<u,显然当二叉树模型无套利时该式一定成立。

   我们考虑基础风险资产的价格过程。假定基础风险资产是股票,其01时刻价格如下:

 


                    S0

                                   dS0

                     

                    0时刻         1时刻

 

假设市场上还有一个在0时刻签订的价格为C01时刻价格到期的未定权益(也就是衍生品),它的价值依赖于股票价格的变化。在1时刻,当股票的价格上升时其价格为Cu,股票价格下降的时候其价格为Cd,价格变化过程可以用下图来表示。

 

                                    Cu

                      C0

                                    Cd

                          

                    0时刻         1时刻

 

如果确定了衍生品的含义,我们就可以知道衍生品1时刻的支付。如果若未定权益为执行价格为K的看涨期权,则1时刻的支付为

Cu=max(uS0-K,0)Cd=max(dS0-K,0)

   2)多期二叉树模型

 在多期二叉树模型中衍生品的定价原理与单期原理相似,也是采用复制的方法。在求解复制资产组合时,我们将用逆推的方法。因为基础资产在n时刻的2n个可能值是已知的,所以我们可以写出衍生品在n时刻的2n种可能值。在第n期一共有2n-1个单期二叉树,我们可以用单期模型的公式计算n-1时刻2n-1个节点处衍生品的价格。以此类推到0时刻,就可以得出衍生品的期初价格。每一次逆推都是前一个时刻价格的复制,在整个过程中,每个节点处都没有资金的注入和撤出。这样,我们实际上得到了一个复制策略的随机过程,该随机过程保证了在每个节点处复制策略资产组合的价格与衍生品在同一节点处的价格相等。

由此我们可以得到一个关于资产组合的方程,解方程之后推导出在i-1时刻的j节点处,风险中性概率测度下股价上升的概率为

则衍生品在该节点的价格为

         

二项式的定价模型在一定程度上可以考虑市场发放红利的情况,而且在树状结果结束时,能直观的推到处期权的到期价值。但其局限性主要体现在数据的离散程度,需要有多种假设,每一个假设是否成立,需要准确考虑到各个细节,从而导致n无限大的向下拆分,当n无穷大时,数据逻辑计算有一定的难度。从而导致计算结果与现实往往相差较大。

2.1.3蒙特卡洛期权定价模型

    蒙特卡洛期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。在期权到期的T时刻,标的股票价格的随机方程为:

其中,随机变量服从标准正态分布,即服从N(0,1),随机变量服从正态分布,其均值为,方差为为股票的收益率,为股票的波动率。期权的收益依赖于在风险中性世界里的期望值,因此对于风险中性定价,股票的收益率()可以用无风险利率r减去连续红利收益率q代替,也就是(r-q)。于是风险中性定价的随机方程为:

其中服从标准正态分布。上式中的股价运动过程与前面二叉树定价中的一样。

     蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值的样本值,即模拟试验。然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。产生足够多的样本值后,就可以得到期权收益的分布,通常需要计算分布的均值和标准差。模拟试验的代数平均值常用来估计期权收益分布的期望值,然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。

    1中欧式期权的有效期是六个月,其标的资产是连续红利收益率为3%的股票。表中有36个期权收益的模拟试验,用它们可以估计出期权收益期望值的折现。

  2.2 无套利假设及风险中性测度变换 

     2.2.1无套利定价方法

(一)基本的假设

为分析简便起见,以下分析是建立在如下假设前提下的:

1、没有交易费用和税收。

2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。

3、远期合约没有违约风险。

4、允许现货卖空行为。

5、当套利机会出现时,市场参与者将参与套利活动,从而使套利机会消失,我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。

6、期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。

(二)将要用到的符号主要有:

:远期和期货合约的到期时间,单位为年。

:现在的时间 ,单位为年。变量是从合约生效之前的某个日期开始计算的,代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期的剩下的时间。

:标的资产在时间时的价格。

:远期合约中的交割价格。

:远期合约多头在时刻的价值。

时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格。如无特殊说明,分别简称为远期价格和期货价格。

时刻到期的以连续复利计算的时刻的无风险利率(年利率),在此如无特别说明,利率均为连续复利。

其基本思路为:构建两种投资组合,让其终值相等,则其现值一定相等;否则的话,就可以进行套利,即卖出现值较高的投资组合,买入现值较低的投资组合,并持有到期末,套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果,将使较高现值的投资组合价格下降,而较低现值的投资组合价格上升,直至套利机会消失,此时两种组合的现值相等。这样,我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。

例如,为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合:

组合A:一份远期合约(该合约规定多头在到期日可按交割价格购买一单位标的资产)多头加上一笔数额为的现金;

组合B:一单位标的资产。

在组合A中,的现金以无风险利率投资,投资期为。到时刻,其金额将达到。这是因为:

在远期合约到期时,这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样,在时刻,两种组合都等于一单位标的资产。由此我们可以断定,这两种组合在时刻的价值相等。即:

     1.1      

公式(1.1)表明,无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和单位无风险负债组成。

     2.2.2 风险中性定价

风险中性定价法假设所有投资者都是风险中性的, 由此引出两个重要的结论: 在一个风险中性的世界里, 所有证券的预期收益皆为无风险利率R,因为风险中性的投资者并不需要某种补偿促使他们承担风险; 在风险中性的世界中, 将其期望值用无风险利率贴现可获得任何现金流的现值。风险中性定价是衍生证券分析的一个重要工具,它来源于式(2)的布莱克-斯科尔斯微分方程的一个关键性质:    

          2.1                                                              
式中,为衍生证券价格; 是标的资产的价格;  为时间;为无风险利率;表示标的资产价格的波动性。从式(2.1)可知, 它不包含任何受投资者风险偏好影响的变量( 如预期收益),因此,该方程独立于风险偏好, 即风险偏好不会对其解产生影响,既然这样,在对定价时,就可以假定一种简单的风险偏好形式,即假设所有的投资者都是风险中性的, 这一假设在很大程度上简化了对衍生证券的分析。风险中性定价法有很多运用, 它可直接用来推导期权定价模型。这里以基于无收益的远期合约的定价加以说明。

假设无风险利率为, 远期合约的交割价格为, 未来一时点为,现货资产的价格为,则远期合约在现在时刻的价值依据风险中性定价法为

   (2.2)

其中,表示风险中性世界中的期望值。式(2.2)可化为

  (2.3)

    ,其中为现货资产在时刻的价格。将其代入式(2.3) 可得

  (2.4)

 

    2.2.3  无套利定价与风险中性定价的相互转换

尽管套利理论与风险中性定价的假设前提存在差异,前者是一个风险厌恶的世界,而后者是一个风险中性的世界,但可以从以下三个方面来说明它们本质上具有一致性。

  现代组合投资理论的研究已经证明, 对风险偏好的假设并不是一个必要的假设, 即无论假设世界是风险厌恶﹑风险中性或风险追求的,也会在一个假设下得到的结论同样适用于另一种假设的世界。例如, 在风险中性世界中得到的远期合约的定价方式同样适用于风险厌恶的世界,因为在收益的期望增长率改变时,期望值的贴现率也改变了,其效果正好相互抵消。

② 布莱克-斯科尔斯微分方程的推导过程是以套利理论为基础的,从这一推导过程中, 可以证明二者存在一致性。

③ 套利定价与风险中风险定价的结论是一致的。现以上面远期合约的定价公式用套利理论来推导加以说明( 字符含义与前面相同)。首先设计一个包含远期合约价值的证券组合A,它等于一个远期合约的多头加上一笔数额为的现金, 它的现在价值为,而在未来时刻,它正好相当于一个单位的标的资产的未来价值, 也就是说组合A复合模拟了标的资产的价值。其次,由套利理论的结论可知, 组合A 的现在价值应该与一个单位标的资产的现在价值相等,

 

这与式( 2.4) 的结论是一致的。

2.3 期权定价模型文献综述     

    2.3.1期权定价理论的主要演变

期权的价格是一种风险价格,长期以来,人们一直在探索着利用各种因素正确评估资产风险的有效方法。下面列举了一些早期的期权定价公式,所有公式都是针对欧式看涨期权所提出来的。

   1Bachelier 公式

1900年,法国数学家Louis Bachelier发表了论文《投机理论》,提出了最早的期权定价模型。在文中他假设股票价格是绝对的Brown运动,单位时间方差为,且没有漂移,则期权的价格为:

其中:为股标价格,为期权执行价格,为期权到期时间,为标准正态分布的分布函数,为标准正态分布的概率密度函数。该模型中假设股票价格是绝对的Brown运动,这就允许股票数量为负,并且忽略了资金的价值,所以应用上受到限制。

   2Sprenkle 公式

1961年,C. M. Sprenkle在《认股权价格是预期和偏好的指示器》一文中,假设股票价格的动态过程满足对数正态分布,而且股票价格具有固定的均值和方差,通过在随机游走过程中引入正向漂移,提出了期权定价公式:

其中:表示股票价格的平均增长率,表示风险厌恶程度。该公式股票价格的平均增长率和对应的风险厌恶程度必须顾及,影响了其应用。

   3Boness 公式

1964年,Boness在《股票期权价值理论的要素》一文中,也假定股票收益成固定对数正态分布,且考虑了风险保险的重要性,给出了如下的定价公式:

其中:表达式同Sprenkle 公式。该公式将货币时间价值的概念引入了期权定价过程,但没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异。

   4Samuelson 公式

1965年,P. A. Samuelson在《认股权定价的合理理论》一文中提出了一个欧式看涨期权的定价模型,考虑了期权和股票的预期收益率因风险的特性的差异而不一致,认为期权有一个更高的预期收益率。该定价公式为:

Samuelson将前人的研究成果统一在一个模型中,但仍然含有主观参数。

这些公式与后来出现的BlackScholes公式有很多相似之处,但是这些公式中都有一个或多个任意参数,它们由投资者对风险或股票收益率的偏好决定,因此这些模型几乎不具备任何实用价值。

    2.3.2 各种期权定价理论比较分析

上述各种定价方法从求解角度看可分为解析方法与数值方法,前者包括传统期权定价方法和Black-Scholes方法;后者包括蒙特卡罗模拟方法、二叉树方法、有限差分方法、确定性套利方法、E-套利方法和区间定价方法。从应用的角度看可分为只适用完全金融市场的方法和既适用完全金融市场又适用非完全金融市场的方法,前者包括Black-Schole方法、蒙特卡罗模拟、二叉树方法和有限差分方法;后者包括确定性套利定价方法、E-套利定价方法和区间定价方法。

Black-Scholes期权定价方法的主要优点是:该方法能够得到套期保值参数和杠杆效应的解析表达式,从而为衍生资产的交易策略提供较清晰的定量结论,解析解本身没有误差,当需要计算的期权的数量较小时,直接使用Black-Scholes公式比较方便。但是,该方法也存在不足之处,即只能给出欧式期权的解析解,该方法也难以处理期权价格依赖于状态变量历史路径及其它的一些较复杂的情况。

数值计算方法各有其优缺点。蒙特卡罗模拟方法的优点在于能处理较复杂的情况且计算的相对效率较高,但由于该方法是由初始时刻的期权值推导未来时刻的期权值,它只能用于欧式期权的计算,而不能用于对可以提前执行合约的美式期权。二叉树方法和有限差分方法是由期权的未来值回溯期权的初始值,因此可以用于美式期权的计算,但这两种方法不仅计算量大、计算效率低,而且难以计算期权依赖于状态变量历史路径的复杂情况。就二者之间的优劣比较而言,Geske-Shastrid的研究结果进一步表明,二叉方法更适用于计算少量期权的价值,而从事大量期权价值计算时有限差分方法更有效率。在非完全市场情况下,传统期权定价方法、Black-Scholes期权定价方法、二叉树期权定价方法、有限差分方法和蒙特卡罗模拟方法都不适用。衍生资产价格不是一个确定的值,而是一个区间。E -套利定价方法所得到的结果位于运用区间定价方法所得到的区间内。在完全金融市场情况下,这个区间就退化为一个点,这时衍生资产区间定价方法与二叉树定价方法和E-套利定价方法得到的结果是一致的。

二叉树定价方法是确定性套利定价方法、区间定价方法和E-套利定价方法的特殊情况,确定性套利定价方法、区间定价方法和E-套利定价方法是二叉树定价方法在非完全金融市场的推广,运用E-套利定价方法所得到的结果一定在运用区间定价方法所得到的区间内,确定性套利定价方法、区间定价方法和E-套利定价方法都既适用于完全金融市场,又适用于非完全的金融市场。

2.3.3期权定价理论展望

近三十多年,期权定价理论获得了巨大的发展,取得了丰硕成果,例如利用期权定价理论来研究各种衍生证券定价的问题,已有不少的结果,如债券、认股权证、可转换债券等的定价。随着金融领域的不断创新,期权的应用越来越广泛,品种越来越多样,但金融市场日新月异,所有我们还面临着诸多亟待解决的问题。

首先是新型期权的设计问题。市场繁荣的背后往往影藏着巨大的金融风险,面对日新月异的金融市场,现有的期权品种远远不够,如何根据投资者的需求和风险管理的需要设计新型期权是期权定价工作不能忽视的问题。其次是金融定价模型的研究有待于进一步深入。尽管到目前为止,期权定价模型繁多,但是大部分都存在不足,不是与市场实际数据不吻合就是模型结构太复杂不便于数学处理,很难得出好的结果,大部分都停留在理论层面上。如何构造出既与实际吻合又便于处理,能够真正走入金融市场的定价模型也是数理金融工作者的一大难题。再次是定价方法的创新。各种定价方法各有优劣,是否还有其它的简便易行的定价方法也是一个值得关注的问题。最后是市场参数的估计问题。在期权定价模型中扩散系数、波动率等一系列参数的获取都是通过对市场数据的分析得出的,一个期权定价的准确与否离不开参数的估计,因而参数估计也是期权定价中的一个重要环节。

    小结:

相信只要理论与实践同步协调发展,以上问题会逐步得到很好的解决。期权定价方法将应用于更为广泛的金融衍生产品和经济领域,期权定价理论也会向更现实的方向发展。总而言之,期权定价理论会适用于更为广泛的金融衍生证券和更为宽泛和普遍的经济环境中,拥有更为宽广的应用前景。

 

      第三章  LEVY过程下期权的蒙特卡洛定价

     蒙特卡洛模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。,在期权到期的T时刻,标的股票价格的随机方程为:

其中,随机变量服从标准正态分布,即服从N(0,1),随机变量服从正态分布,其均值为,方差为为股票的收益率,为股票的波动率。期权的收益依赖于在风险中性世界里的期望值,因此对于风险中性定价,股票的收益率()可以用无风险利率r减去连续红利收益率q代替,也就是(r-q)。于是风险中性定价的随机方程为:

其中服从标准正态分布。上式中的股价运动过程与前面二叉树定价中的一样。

     蒙特卡洛模拟随机产生一组股价终值的样本值,即模拟试验。然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。产生足够多的样本值后,就可以得到期权收益的分布,通常需要计算分布的均值和标准差。模拟试验的代数平均值常用来估计期权收益分布的期望值,然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。

 3.1 相关随机过程概念介绍

随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学、物理分支如位势论、微分方程、复变函数论、力学等有密切的联系,是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。一般来说,把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律。随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究,如吉布斯玻尔兹曼庞加莱等人对统计力学的研究,及后来爱因斯坦维纳莱维等人对布朗运动的开创性工作。

1907年前后,马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链1923年维纳给出布朗运动的数学定义,直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年,柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》,1934辛钦发表了《平稳过程的相关理论》,这两篇著作奠定了马尔可夫过程平稳过程的理论基础。1953年,杜布出版了名著《随机过程论》,系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

3.1.1 马尔可夫过程

马尔可夫过程(Markov process)是一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家A.A.马尔可夫1907年提出。该过程具有如下特性:在已知目前状态 (现在)的条件下,它未来的演变 (将来)不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程 。在现实世界中,有很多过程都是马尔可夫过程,如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等,都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究,1931A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程,奠定了马尔可夫过程的理论基础。

1、马尔可夫过程的定义

⑴设是一个随机过程,如果在

时刻所处的状态为已知时,与它在时刻      

之前所处的状态无关,则称具有马尔可夫性。

⑵设                     

状态空间S,如果对于任意的n2,任意的

,在条件

,X(tn)的条件分布函数恰好等于在条件

下的条件分布函数,即

则称

马尔可夫过程

马尔可夫过程,能为给定样品文本,生成粗略,但看似真实的文本:他们被用于众多供消遣的“模仿生成器”软件。马尔可夫链还被用于谱曲。

它们是后面进行推导必不可少的条件:⑴尺度间具有马尔可夫性质.随机场从上到下形成了马尔可夫链,即

的分布只依赖于      

,与其他更粗 糙的尺度无关,这是因为    已经包含了所有位于其上层的尺度所含有的信息.⑵ 随机场像素的条件独立性.中像素的父节点已知,则

                中的像素彼此独立.这一性质使我们不必再 考虑平面网格中相邻像素之间的关系,而转为研究尺度间相邻像素(即父子节点)间的关系.

⑶ 设在给定的情况下,Y 中的像素彼此独立.

⑷ 可分离性.若给定任一节点

,则以其各子节点为根的子树所对应的变量相互独立.

从只有一个节点的根到和图像大小一致的叶子节点,建立了完整的四叉树模型,各层间的马尔可夫链的因 果关系使我们可以由非迭代的推导过程快速计算出 X 的最大后验概率或后验边缘概率.

时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链,简记为Xn = X(n),n = 1,2,3,4····。

马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围,即他们所有可能取值的集合,被称为“状态空间”,而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数,则

P(Xn+1=x|X0,X1,X2,...Xn)=P(Xn+1=x|Xn)

马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的,但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机,名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。

马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程:

1t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关,与t时刻以前的状态无关;

2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S,P,Q),其中各元的含义如下:

1)S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集,有时也称之为系统的状态空间,它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或Si,Sj)等来表示状态。

2)P是系统的状态转移概率矩阵,其中Pij表示系统在时刻t处于状态i,在下一时刻t+l处于状态j的概率,N是系统所有可能的状态的个数。对于任意is,有。

3)Q是系统的初始概率分布,qi是系统在初始时刻处于状态i的概率的满足。

马尔可夫链模型的性质

马尔可夫链是由一个条件分布来表示的

P(Xn + 1 | Xn)

这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三,以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质:

同样:

这些式子可以通过乘以转移概率并求k1次积分来一般化到任意的将来时间n+k

边际分布P(Xn)是在时间为n时的状态的分布。初始分布为P(X0)。该过程的变化可以用以下的一个时间步幅来描述:

这是Frobenius-Perron equation的一个版本。这时可能存在一个或多个状态分布π满足:

其中Y只是为了便于对变量积分的一个名义。这样的分布π被称作是“平稳分布”(Stationary Distribution)或者“稳态分布”(Steady-state Distribution)。一个平稳分布是一个对应于特征根为1的条件分布函数特征方程

平稳分布是否存在,以及如果存在是否唯一,这是由过程的特定性质决定的。“不可约”是指每一个状态都可来自任意的其它状态。当存在至少一个状态经过一个固定的时间段后连续返回,则这个过程被称为是“周期的”。

如果状态空间是有限的,则转移概率分布可以表示为一个具有(i,j)元素的矩阵,称之为“转移矩阵”:

Pij = P(Xn + 1 = i | Xn = j)

对于一个离散状态空间,k步转移概率的积分即为求和,可以对转移矩阵求k次幂来求得。就是说,如果是一步转移矩阵,就是k步转移后的转移矩阵。

平稳分布是一个满足以下方程的向量:

在此情况下,稳态分布π * 是一个对应于特征根为1的、该转移矩阵的特征向量。

如果转移矩阵不可约,并且是非周期的,则收敛到一个每一列都是不同的平稳分布π * ,并且,

独立于初始分布π。这是由Perron-Frobenius theorem所指出的。

正的转移矩阵(即矩阵的每一个元素都是正的)是不可约和非周期的。矩阵被称为是一个随机矩阵,当且仅当这是某个马尔可夫链中转移概率的矩阵。

3.1.2鞅过程        

鞅(Martingale 是“公平赌博”的意思)是一类特殊的随机过程。是近代概率论的一个重要分支。

是一个完备的概率空间,我们所讨论的随机变量均是这个空间上的,对于,有,则称的一簇单调上升的子。且满足所谓的“通常条件”,即包含一切零测度集,具有右连续性。

是带流的概率空间上的随机变量族,其中,对于,有成立(即关于可测),则称关于是适应的。

定义:随机过程称为关于的鞅,如果关于是适应的,,且对,有

如果,则称为下鞅;

如果,则称为上鞅;

3.2 Levy过程定义及相关推导

   1Lévy过程的定义

具有连续样本路径的Brownian运动和纯跳的Poisson过程均属于Lévy过程。Lévy过程最本质的特征是具有平稳独立增量。首先我们给出Lévy过程的定义。

为一定义在概率空间(Ω, F, P)上的实值随机过程,若它满足:

(1)            ,随机变量X(t0)X(t1)X(t0)X(t2)X(t1)X(tn)X(tN-1)相互独立,

(2)            X(0)0 a.s

(3)            X(s+t)X(s)的分布不依赖于s,

(4)            X随机连续,即对,

                                         MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2)

X是一Lévy过程。

Lévy过程是具有无穷可分(infinitely divisible)分布函数的随机过程。令Lévy过程的特征函数为,则累积量(cumulant)特征函数也称为特征指数,满足Lévykhintchine公式:

                    MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (3)

其中,γ∈R,σ20,ν是列维测度。(γ,σ2,ν(dx))称为列维特征三元z组。

Lévykhintchine公式可知,一个Lévy过程由三个部分组成:线性确定性部分、布朗运动和纯跳跃过程,Lévy测度控制跳是如何发生的。

  2Meixner过程

Lévy过程理论的在应用中产生了很多具体的概率密度分布,如Variance Gamma VG)分布、Normal Inverse Gaussian (NIG)CGMY分布、Hyperbolic Model,以及Meixner分布。文献[2]利用多个分布对多个股票指数建模,发现Meixner过程对指数的拟合较好。本文选择Meixner过程对上证50ETF指数的收益率系列进行建模。

Meixner过程理论源自正交多项式理论,首先由SchoutensTeugels1998)提出,Grigelionis1999)认为Meixner过程可以更好的拟合股票收益率。Meixner过程的分布密度函数为:

           MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (4)

其中a > 0;-π< b <π;d > 0,m为实数。Meixner过程的特征函数为:

                     MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (5)

Meixner过程的Lévy特征三元组为(γ,0v(dx)),其中:

                                   MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (6)

                                           MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (7)

3.3 Levy过程特征

Meixner过程的Lévy特征三元组可知,Meixner过程是不含布朗运动的纯跳跃过程。表2给出了Meixner分布的均值等数字特征量的参数表达式。从公式可知,当参数b0时,Meixner分布为对称分布(未进行均值校正),均值和偏度为零。

                   

                    2 Meixner过程的数学特征

数字特征

表达式

均值

方差

峰度

偏度

   3.4 Levy过程的模拟技术     

假设金融市场中风险资产的价格运动过程,其中Χ={Χt,t0}Meixner过程。因此这个市场模型的风险资产的对数收益率为是一个具有独立和平稳分布增量的随机序列,即服从Meixner分布的随机过程。本文采用Meixner过程对样本数据的收益率序列进行拟合。首先用最大似然估计法(MLE)对Meixner分布的参数进行了估计,结果如表3

3 Meixner分布的参数估计

参数

a

b

d

m

 

0.055

-0.527

0.3068

0.0056

特征量

均值

方差

峰度

偏度

 

0.001

0.0004987

6.7015

-0.6650

3是根据估计的Meixner分布参数绘出的Meixner分布的概率密度函数。为了便于比较,也绘制了样本数据的高斯核估计分布密度。与图2的正态分布相比,Meixner分布较好地拟合了样本数据的超出峰度、偏度和半厚尾现象。

 

Kernal

 

Meixner

 

25

 

20

 

15

 

10

 

5

 

0

 

0.1

 

0.05

 

0

 

-0.05

 

-0.1

 

3 样本的核密度估计和拟合的Meixner分布

    蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成上证50ETF期权价格的随机过程。在期权到期的T时刻,标的股票价格的随机方程为:

其中,随机变量服从标准正态分布,即服从N(0,1),随机变量服从正态分布,其均值为,方差为为股票的收益率,为期权的波动率。期权的收益依赖于在风险中性世界里的期望值,因此对于风险中性定价,期权的收益率()可以用无风险利率r减去连续红利收益率q代替,也就是(r-q)。于是风险中性定价的随机方程为:

其中服从标准正态分布。

     蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值的样本值,即模拟试验。然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。产生足够多的样本值后,就可以得到期权收益的分布,通常需要计算分布的均值和标准差。模拟试验的代数平均值常用来估计期权收益分布的期望值,然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。

    每个模拟试验产生一个终值股价(的一个样本值)和一个期权收益值。在B列中用ExcelRAND函数来产生服从均匀分布的随机数,然后在C列用标准正态分布函数NORMSINV将其转换成随机样本。RAND函数产生[0,1]间服从均匀分布的随机数。将其作为累积概率值(值在01之间),用NORMSINV即可得到服从标准正态分布的随机变量值,其结果大部分处在-0.50.5之间。例如,第一次模拟试验C22中的公式为:

=NORMSINV(B22)

其输入值为0.1032(大约10),产生的标准正态变量的值则为-1.2634

    得到随机样本值(),就可以用下面公式计算期权到期日的股票价格:

为了将其转换为单元格公式的形式,有必要先计算出T时刻的风险中性漂移项和波动率,也就是(分别处于B16B17中)。因此,E22中的公式为:

=$B$4*EXP($B$16+C22*$B$17)

相应的期权收益为(H22):

=MAX($E$4*(E22-$B$5),0)

E4中存放的是参数iopt,它用来区分看涨期权和看跌期权。

上证50指数作为我国未来股指期权的标的资产,研究其分布特征,寻找相应的随机过程模拟其随机行为,对未来进行股指期货投资,构建于其上的权证等衍生产品设计、开发、投资等具有重要意义。

 

            4 上证50ETF期权定价的实证检验

     4.1  数据采集

本文选取上证50ETF期权的日收盘价作为研究对象,其紧密跟踪上证50指数,投资者借助其可以像买卖股票一样投资上证50指数。该基金代码为510050,目前规模高达206亿元,其管理费率为0.50%,托管费率为0.10%,最小申赎单位为100万份。历史数据取自证券交易所实盘交易数据,研究区间自201529日到2015624日,剔除周末和法定节假日非交易时间,共有83组日交易数据,使用的统计软件Excel 2010

为构造连续的股指期权日交易数据,本文选用了上证50ETF期权连续数据进行分析,即产生了一个连续的时间序列。

   4.2  统计性描述 

描述性统计是用曲线、表格图形反映统计数据和描述观测结果,这里用描述性统计表,趋势图和相关性表来直观描述上证50ETF期权和上证50ET现货之间的关系。为了避免异方差问题,将上证50ETF 期权(IF)和现货价格(IS)转换为对数形式(LNIFLNIS表示)。数据的描述性统计和趋势图见表1和图1

SEQ 表格 \* ARABIC 1 上证50ETF期权和上证50E50ETF现货指数描述性统计表

 

 

交易品种

均值

中位数

最大值

最小值

标准差

上证50ETF期权

0.5415

0.6412

1.0316

0.1038

0.8089

上证50ETF现货

  2.842

    2.773

3.465

2.331

   0.5427

由表1可知,在84个日收盘价中,上证50ETF期权日收盘价均值0.5415点,最大值1.0316,最小0.1038。标准差0.8089

由表二可知,  84个日收盘价中,上证50ETF现货日收盘价均值2.842点,最大值1.3.465,最小2.331。标准差0.5427

   两者之间存在着类似的相关性。期权价格变动远远大于现货变动幅度。股指期权定价模式明显带有杠杆的趋势。

为了验证两者所具有的联系,使用上证50ETF股指期货和现货的日交易数据进行建模。考虑到使用时间序列数据进行建模,首先进行单位根检验判断两组变量之间是否具有协整关系。

4.3单位根检验

时间序列的平稳性是所有时间序列检验的基础,如果数列不具有平稳性往往会导致“伪回归”、数据将不再具有一致性以及无法用来进行预测。上证50ET期权和现货数据平稳性检验结果:

 

SEQ 表格 \* ARABIC 3 上证50ETF股指期货和现货平稳性检验结果

 

t统计值

p

检验临界值

LNIF

0.9641

0.9999

1%

-3.9675

LNIS

1.1174

0.9999

5%

-3.4145

LNIF(-1)

-31.7877

0.0000

10%

-3.1294

LNIS(-1)

-31.1991

0.0000

 

由表3可以看出上证50ET期权原数据并非平稳,但是上证50ETF现货数据的一阶差分是平稳的,因而证50ETF现货数据是一阶单整序列;同时证50ETF现货指数原数据并非平稳,但是现货指数的一阶差分是平稳的,因而证50ETF期权数据是一阶单整序列。

4.4 协整检验

协整意味着变量之间存在一种长期稳定的均衡关系,对于时间序列而言变量之间的协整关系存在是很有意义的,即:[[1]]序列本身可能非平稳,但是可能是d阶单整,它们的线性组合又是平稳的,无疑可以更加深入研究变量之间的长期均衡关系。这里用协整检验检验上证50ET期权和现货两组时间序列是否存在长期均衡关系。

根据多变量系统AICSIC指标,模型选择滞后期为4期,并假定长期中均衡关系有截距但是没有确定性趋势。对与上证50ETF期权和现货指数的时间序列进行Johansen协整检验:

4 上证50ETF期权和现货协整检验结果(迹统计)

假设的协整数量

特征值

迹统计量

0.05临界值

P

没有协整关系

0.0610

62.4442

15.4947

0.0000

最多1

0.0017

1.6302

3.8415

0.2017

5 上证50ETF期权和现货协整检验结果(最大值统计)

假设的协整数量

特征值

迹统计量

0.05临界值

P

没有协整关系

0.0610

60.8140

14.2646

0.0000

最多1

0.0017

1.6302

3.8415

0.2017

由表4和表5得出,在上证50ETF股指期货和现货的协整检验中,迹检验和最大值检验都表示在5%显著性水平下拒绝原假设,即二者之间存在一个协整关系。因此,上证50ETF股指期货(LNIF)和现货指数(LNIS)之间存在长期稳定的协整关系,协整方程为:

Johansen协整检验的结果表明:上证50ETF股指期权和现货指数市场之间存在着长期稳定的协整关系,即短期内外生变量冲击可能使得各变量偏离其均衡位置,但是从长期来看各变量会自动恢复到均衡位置。

(五)向量误差修正模型

协整检验表明上证50ETF股指期权和现货市场之间存在长期稳定关系,并且上证50ETF股指期货和现货数据都是一阶单整序列,运用向量误差修正模型说明短期波动对于上证50ETF股指现货市场以及股指期权的影响。通过建立误差修正模型(VECM)来描述着序列中短期波动对其长期均衡状态的影响。

根据AICSIC信息准则,选定滞后期为4期,建立误差修正模型为:

(1)

 

 

 


(1)估计结果为,

(2)

 


(3)

注:以上各系数皆通过T检验,即显著。

    在式23中,上证50ETF期权指数价格、期货价格的短期波动可分为两部分:一方面取决于误差修正项,一方面受到的影响。在式(2)中误差修正项为-0.1026,表明误差修正项对现货价格变动具有反向调整作用;在式(3)中误差修正项为0.133,表明误差修正项对现货价格变动具有正向调整作用。由T统计量可知,等式(2)(3)均统计显著,表明期货和现货之间具有较强的相互引导关系。即:从短期效应来看,误差修正项对于现货市场具有正向调节作用,而误差修正项对于期货市场具有反向调节作用;从长期效应来看,现货市场和期货市场具有较强的相互引导作用。

(六)Granger因果检验

格兰杰因果检验可以从统计上考察上证50ETF股指期货和现货之间关系是单向还是双向,这里根据AICSIC信息准则选择滞后期为1期,对上证50ETF股指期货价格和现货价格进行Granger因果关系检验:

6 上证50ETF股指期货和现货指数Granger因果检验结果

原假设

观测值

F统计量

p

LNIS不是LNIF的格兰杰原因

970

7.4653

0.0064

LNIF不是LNIS的格兰杰原因

 

3.9618

0.0468

由表6可以看出,在5%的显著性水平下,拒绝原假设“上证50ETF期权价格变动不是引起现货指数变动的格兰杰原因”,以及备则假设“现货指数变动不是引起期货价格变动的格兰杰原因”,所以上证50ETF期权价格和股指现货是一种相互引导关系。

5章 研究结论总结

本文分析了自201529日到2015624日期间上证50ETF期权与现货之间的关系,得到结果如下:

(1)通过描述性统计可知,上证50ETF期权与现货指数的走势基本一致,具有很强的一致性,二者高度相关;

(2)通过ADF检验可知,上证50ETF期权和现货两组时间序列均不是平稳序列,但一阶差分后是平稳的,可以建模;

(3)通过协整检验可知,上证50ETF期权市场和现货市场之间存在着长期稳定的协整关系。外生变量冲击只会形成短期的波动,但是从长期来看会自动恢复到均衡;

(4)通过ECM模型和Granger因果检验可知,上证50ETF期权市场和现货指数市场之间相互影响:从长期趋势来看,上证50ETF期权市场和现货市场具有较强的相互引导作用;从短期波动性来看,上证50ETF期权市场对现货市场具有反向影响,而现货市场对期货市场具有正向调节作用;股指期权的引导力相对于现货市场更强一些。

上述结论说明,上证50ETF期权合约表现出了较强的价格发现功能,上证50ETF期权和现货市场的相互影响,说明信息在两个市场之间较为充分的流动性,从而保证了市场的有效性。对于投资者而言,正确认识和把握市场规律,利用上证50ETF期权交易回避风险的功能,可以减少资本市场的投资风险,进行理性投资。

第6章 相关政策建议

我国资本市场从幼稚到壮大一步一步成长起来,自从05年股权分置问题逐步落实解决,至07年初的基本成功完成,上市公司数量及上市规模大幅提升,金融衍生品逐步推出,上证50ETF期权今年如期推出。同时,也应该看到,广大投资者对期权、期货等等新的金融衍生品还了解不够,在期权市场上出现了一些问题,对期权的认知程度不高。导致出现明显没有价值的期权和约还可以成交。投资者根本没有考虑后期的行权价格因素。在市价远高于行权价的行权期间,却不去行权,原因是根本不了解期权,以为就是股票。另一方面,一些证劵业的相关工作人员,对B-S模型也还认识不够,对其中一些参数没有清楚把握,只是生搬硬套,从而对市场有所误导。希望相关部门能够开展相应的引导培训,提高各级相关主体对衍生品的认识,使得我国金融市场能够健康,有序,持续地发展,充分发挥金融衍生品促进资源有效配置的功能。由于欧式期权的行权时间特点以及杠杆效应,市场上也存在操控行权前正股价格的现象,希望有关部门加强监管措施,保障广大投资者的权益。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[33] 常清主编 常清主编 20098月,《期货、期权与金融衍生品概论》 教育科学出版社

[34]石榴红主编  20098 《期货与期权交易——理论和实务》 科学出版社

 

 



[[1]] 郭存芝,杜延军.《计量经济学》,科学出版社.

 

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